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Categoria: Integrali impropri
Usando la definizione calcolare il seguente integrale improprio:
\[\int_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{(x^2+5)^3}}dx\]
Scriviamo l'integrale come:
\[\lim_{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{x}{\sqrt{(x^2+5)^3}}dx\]
Prima di tutto svolgiamo l'integrale indefinito:
\[\int \frac{x}{\sqrt{(x^2+5)^3}}dx=\int x(x^2+5)^{-3/2}dx\]
La derivata di \(x^2\) è \(2x\) quindi ci manca il termine 2.
Per aggiungerlo all'espressione dobbiamo moltiplicare e dividere l'integrale per 2.
\[\int\frac{2}{2} x(x^2+5)^{-3/2}dx\]
Ci interessa solo il due al numeratore quindi portiamo fuori dall'integrale il due al denominatore.
\[\frac{1}{2}\int 2x(x^2+5)^{-3/2}dx\]
L'integrale è di questa forma:
\[\int f'(x)f^{n}(x)\]
Quindi:
\[\frac{1}{2}\int 2x(x^2+5)^{-3/2}dx=\frac{1}{2}\frac{(x^2+5)^{-3/2+1}}{\frac{-3}{2}+1}+c=-\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}+c\]
Adesso possiamo risolvere il limite cioè risolvere l'integrale indefinito di partenza:
\[\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ -\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}\right]_1^t=\lim_{t \rightarrow \infty} \left[ -\frac{1}{\sqrt{t^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\right]=\frac{1}{\sqrt{6}}\]
