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Categoria: Serie Numeriche
Verificare la convergenza e calcolare la somma di:
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\[ \sum_{n=1 }^{\infty} \frac{n}{\left ( n+1 \right )!} \] |
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\[ \frac{n}{\left ( n+1 \right )\left ( n \right )\left ( n-1 \right )!}=\frac{1}{\left ( n+1 \right )\left ( n-1 \right )!}\sim \frac{1}{n^{2}} \]
(Richiami sui fattoriali qui.) |
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\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \] |
Questa serie converge per |
\[ n\rightarrow +\infty \]. |
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Per il criterio del confronto asintotico converge anche la prima serie. |
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\[\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}= \] |
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\[ \frac{n+1}{(n+1)(n)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{(n)!}-\frac{1}{(n+1)!} \] |
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Somma parziale= \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k)!}-\frac{1}{(k+1)!}=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!} \] |
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\[ S=\lim_{n\to\infty } \left ( 1-\frac{1}{(1+n)!} \right )=1 \] |
