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Categoria: Studio di funzione
Studiare la funzione: \[ f(x) = ln(x^2-1) \]
DOMINIO: Per determinare l'insieme di definizione(dominio) della nostra funzione f(x) dobbiamo porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero. Quindi: \(x^2-1>0 \) \[x^2-1>0; x^2-1=0;x^2=1;x_{1,2}=\pm\sqrt{1};x_{1}=1;x_{2}=-1\] Quindi: \(x<-1\cup x>1\)
SEGNO/POSITIVITA': Dobbiamo vedere quando tutta la funzione,\(f(x)\), è maggiore di zero e quindi si trova nella parte sopra del grafico. Quindi: \[ln(x^2-1)>0;ln(x^2-1)>ln(1);x^2-1>1;x^2>2\] \[x>\sqrt{2}\cup x<-\sqrt{2}\]
INTESERZIONE CON GLI ASSI: Per vedere se la funzione interseca l'asse delle ascisse e l'asse delle ordinate bisogna mettere a sistema la funzione prima con \(x=0\) (asse ordinate,y), poi con \(y=0\)(asse ascisse, x). \[\begin{cases}y=ln(x^2-1)\\y=0\end{cases}; \begin{cases}0=ln(x^2-1)\\y=0\end{cases}; \begin{cases}ln(1)=ln(x^2-1)\\y=0\end{cases};\] \[\begin{cases}1=x^2-1\\y=0\end{cases}; \begin{cases}x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\\y=0\end{cases}\] Possiamo notare dal dominio della funzione che l'intersezione con l'asse delle ordinate,\(x=0\), non esiste e quindi non proviamo neanche a calcolarla dato che \(x=0 \notin Dominio\)
LIMITI: Dobbiamo calcolare quattro limiti per studiare questa funzione:\(+\infty;-\infty;+1;-1\) \[\lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x^2-1)=+\infty\] \[\lim_{x \rightarrow -\infty}ln(x^2-1)=+\infty\] \[\lim_{x \rightarrow +1^{+}}ln(x^2-1)=-\infty\] \[\lim_{x \rightarrow -1^{-}}ln(x^2-1)=-\infty\]
DERIVATA PRIMA: Per studiare l'andamento grafico della funzione dobbiamo prima calcolare la derivata poi studiarne il segno. In questo caso si calcola così: \[\left[ln(g(x))\right]'=\frac{1}{g(x)}g'(x)\] Quindi calcoliamo la derivata con la funzione proposta: \[f(x)'=\frac{1}{x^2-1}2x=\frac{2x}{x^2-1}\]
STUDIO DERIVATA PRIMA: Per vedere se la funzione sale o scende, quindi vedere il suo andamento grafico dobbiamo studiare il segno della derivata: \[\frac{2x}{x^2-1}>0; \begin{cases}2x>0\\x^2-1>0\end{cases}; \begin{cases}x>0\\x<-1\cup x>1\end{cases}\] Quindi la derivata è positiva, e la funziona sale negli intervalli:
GRAFICO: Dopo tutto questo studio di funzione possiamo disegnare la funzione e il suo grafico deve venire simile a questo:
