Dominio - Studio di funzione
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Il primo passo per studiare una funzione è quello di trovare il suo dominio, ovvero il suo insieme di definizione.
Per trovare il dominio di una funzione dobbiamo trovare il sottoinsieme più grande dei numeri reali per il quale la funzione non perda di significato.
Per trovare l'insieme di definizione dobbiamo vedere da quali funzioni elementari è composta la funzione.Ogni funzione elementari ha il suo dominio. Ecco un elenco:
- Funzione fratta: \( f(x)=\frac{h(x)}{g(x)} \) Le funzioni fratte non esistono dove il denominatore è zero, quindi il dominio di una funzione fratta \(f(x) \) è \(g(x) \neq 0 \), dove \(g(x)\) è il denominatore della funzione in questione.
- Funzione razionale con indice pari: \(f(x)=\sqrt[n]{g(x)}\) con \(n\) indice pari. Le funzioni razionali con indice pari non esistono quando il radicando, \(g(x)\), è minore di zero, quindi il dominio di una funzione razionale con indice pari si calcola ponendo il radicando maggiore o uguale a zero. \( g(x) \geq 0 \), dove \(g(x)\) è il radicando.
- Funzione logaritmica: \( f(x) = \ln g(x) \) Le funzioni logaritmiche non esistono quando l'argomento è minore o uguale a zero, quindi per calcolare il dominio di una funzione logaritmica bisogna mettere l'argomento maggiore di zero. \( g(x) >0\), dove \(g(x)\) è l'argomento della funzione logaritmica.
- Funzioni trigonometriche(eccetto seno e coseno che hanno tutto \(\mathbb{R} \) come dominio):
- \( f(x) = \tan g(x) \). Dominio \(g(x) \neq k\frac{\pi}{2} \), con \(k\in {\mathbb {Z}}\setminus \left\{0\right\} \)
Proviamo a capire come si calcola il dominio di una funzione con un esempio che contiene i primi tre casi: \[ f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-2}}{\ln (x+3)}\]
Procediamo per ordine:La nostra funzione, \(f(x) \), è una funzione fratta quindi tutto il suo denominatore, \(\ln (x+3)\), deve essere diverso da zero. \( \ln (x+3) \neq 0 \)
Quindi \(x \neq -2 \)
Nella nostra funzione troviamo anche una radice con indice pari (è sottointeso quindi \( n=2\), quindi dobbiamo mettere il radicando maggiore o uguale a zero. \( x^{2}-2 \geq 0 \)
Quindi \( x\geq \sqrt{2} , x\leq -\sqrt{2}\)
Nella funzione troviamo anche un logaritmo, quindi dobbiamo mettere il suo argomento maggiore di zero. \( x+3 >0\)
Quindi: \( x>-3\)
Dopo aver trovato tutte le condizioni di esistenza della funzione \(f(x)\) dobbiamo intersecarle per ottenere un unica condizione di esistenza:
\[-3 \leq x < -2 \cup -2<x\leq - \sqrt{2} \cup x \geq \sqrt{2}\]
