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Categoria: Integrali impropri
Trovare il più piccolo valore di n per cui l'integrale converge.
\[ \int_{2}^{+\infty }\frac{x}{\sqrt{(x^{2}+3)^{n}}} dx \]
La funzione all'interno dell'integrale la possiamo approsimare così per x che tende a infinito:
\[ \frac{x}{\sqrt{(x^{2}+3)^{n}}}\sim \frac{x}{x^{n}}\sim \frac{1}{x^{n-1}} \]
L'integrale quindi converge per n-1>1 quindi n>2.
Il più piccolo valore per cui converge è n=3.
Adesso risolviamo l'integrale e troviamo il suo valore.
\[ \int_{2}^{+\infty }\frac{x}{\sqrt{(x^{2}+3)^{3}}}dx= \frac{1}{2}\int_{2}^{+\infty } 2x(x^{2}+3)^{-\frac{3}{2}}=\left [-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+3}}+c \right ]= \]
\[ =\lim_{b\to+\infty }\int_{2}^{b}\frac{x}{\sqrt{(x^{2}+3)^{3}}}=\lim_{b\to+\infty } \left ( -\frac{1}{\sqrt{b^{2}+3}}+\frac{1}{\sqrt{7}} \right )=\frac{1}{\sqrt{7}} \]
