1- Radice e fratta
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- Categoria: Integrali Indefiniti
Calcolare il seguente integrale indefinito di una funzione fratta con una radice.
\[ \int \frac{x-2}{\sqrt{x-1}} dx \] Per risolvere questo integrale si usa la tecnica di sostituzione. Poniamo: \[ x-1=t; x=t+1; dx=x'dt=(t+1)'dt=dt; \] Riscriviamo l'integrale con la nuova notazione e risolviamo questo semplice integrale: \[ \int \frac{t-1}{\sqrt{t}} dt = \int \frac{t}{\sqrt{t}}dt-\int \frac{1}{\sqrt{t}}dt= \int \sqrt{t}dt-\int t^{-1/2}dt= \] \[ =\frac{2}{3}\sqrt{t^{3}}+2\sqrt{t} \] Ora che abbiamo risolto l'integrale dobbiamo tornare alle variabile iniziale "x". \[\frac{2}{3}\sqrt{(x-1)^{3}}+2\sqrt{x-1}+c\]
