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Categoria: Integrali impropri
Studiare la convergenza del seguente integrale improprio al variare del parametro a.
\[\int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x(\log x)^{\alpha }}dx|\alpha,a \in \mathbb{R} \]
Bisogna studiare l'integrale quando alfa è uguale a 1 e quando è diverso da 1.
\[ \alpha=1 \int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x(\log x)^{\alpha }}dx= [ \log (\log x) ]_{a}^{+\infty} \]
\[\alpha \neq 1 \int_{a}^{+\infty }\frac{1}{x(\log x)^{\alpha }}dx= \left [ \frac{(\log x)^{-\alpha +1}}{-\alpha +1} \right ]_{a}^{+\infty}=\frac{(\log +\infty)^{-\alpha +1}}{-\alpha +1} -\frac{(\log a)^{-\alpha +1}}{-\alpha +1} \]
Per \(\alpha=1\) diverge positivimante.
Converge per\( -\alpha +1< 0 \mapsto \alpha> 1 \)
In conclusione:
-Converge per\( \alpha> 1 \)
Diverge positivamente per
\( \alpha\leq 1 \)
