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Categoria: Integrali impropri
Usando la definizione risolvere l'integrale:
\[ \int_{1}^{+\infty} \left(\frac{1}{x^{2}}+xe^{-x}\right)dx\]
Per prima cosa scriviamo l'integrale improprio come:
\[\lim_{t \rightarrow +\infty}\int_{1}^{t} \left(\frac{1}{x^{2}}+xe^{-x}\right)dx\]
Adesso risolviamo l'integrale indefinito:
\[\int \left(\frac{1}{x^{2}}+xe^{-x}\right)dx=\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int xe^{-x}dx=\int x^{-2}dx+\int xe^{-x}dx=\]
[il primo integrale è immediato; per il secondo rimando a
4-Esponenziale per parti]
\[=-\frac{1}{x}-xe^{-x}-e^{-x}\]
A questo punto svolgiamo il limite:
\[\lim_{t \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{x}-xe^{-x}-e^{-x}\right]_t^1=\]
\[=\lim_{t \rightarrow +\infty}\left[-\frac{1}{t}-te^{-t}-e^{-t}-\left(-\frac{1}{1}-1e^{-1}-e^{-1}\right)\right]=1+\frac{2}{e}\]
