- Dettagli
-
Categoria: Integrali Indefiniti
Risolvere l'integrale:
\[\int \frac{e^x}{e^{2x}-3e^x+2}dx\]
Questo integrale si risolve con una semplice sostituzione:
\[e^x=t; x= \ln t\]
\[dx=(x)'dt=\frac{1}{t}dt\]
Eseguiamo la sostituzione ed otteniamo:
\[\int \frac{t}{t^{2}-3t+2}\frac{1}{t}dt=\int \frac{1}{t^{2}-3t+2}dt\]
Scomponiamo il denominatore con la regola di somma e prodotto dei polinomi, quindi dobbiamo trovare due numeri che per somma danno -3 e per prodotto 2: sono -1 e -2. Quindi:
\[\int \frac{1}{(t-1)(t-2)}dt\]
Adesso per risolvere l'integrale dobbiamo dividerlo in due parti quindi dobbiamo trovare una A e una B tali che:
\[\int \frac{A}{(t-1)}+\frac{B}{(t-2)}dt\]
Quindi:
\[\int \frac{1}{(t-1)(t-2)}dt=\int \frac{(A+B)t-A-2B}{(t-1)(t-2)}dt\]
\[\begin{cases}A+B=0 \\-A-2B=1\end{cases};\begin{cases}A=1 \\B=-1\end{cases}\]
Siamo arrivati a questo punto e l'integrale รจ immediato:
\[\int \frac{1}{(t-1)(t-2)}dt=\int \frac{1}{(t-1)}+\frac{-1}{(t-2)}dt=\]
\[=\ln|t-1|-\ln|t-2|+c=\ln|e^x-1|-\ln|e^x-2|+c\]\]
